一、矩阵不等式AX≥B的一类反问题及其最佳逼近（论文文献综述）
王杰[1]（2021）在《约束矩阵方程AXB+CXD=F的迭代算法研究》文中认为约束矩阵方程的研究和现实生活中的实际应用密切相关,现代科学技术中的许多复杂问题都需要用到矩阵方程相关理论和方法去解决.如今,现代金融理论,自动控制理论,参数识别,信息论和振动理论等众多工程和科学领域的复杂问题都可以用求解约束矩阵方程的形式来解决.相关矩阵理论与方法的研究很大程度上促进了科学技术的发展,那么如何加快求解矩阵方程速度与提高解的精确度就是今后研究的重要内容.为了使求解约束矩阵方程的速度更快,迭代次数更少,本篇硕士论文主要是对求解矩阵方程的迭代算法进行改进,将安德森加速（Anderson Acceleration）应用到求解约束矩阵方程的多步迭代算法中,从而使迭代算法有较好的收敛效果.本文主要的研究问题如下:问题Ⅰ 给定矩阵A,C∈Rm×n,B,D∈Rn×p和F∈Rm×p,求X∈Rn×n使得问题Ⅱ 给定矩阵X∈Rn×n,求X∈SE,使得问题Ⅲ 给定矩阵A,C∈Rm×n,B,D∈ Rn×p和F∈Rm×p,L∈Rn×n,U∈Rm×m,求X∈SRn×m使得其中,ε为给定常数,SE是问题Ⅰ的解集合,λmin（X）为矩阵X的最小特征值,不等式X≥Y对任意两个实矩阵有Xij≥Yij,这里的Xij,Yij分别表示矩阵X和Y的ij项首先,基于不动点迭代算法思想,文中结合安德森加速进而提出多步迭代算法用于求解约束矩阵方程AXB+CXD=F及其最小二乘问题.其次,给出了求解问题Ⅰ和问题Ⅲ的加速多步迭代算法,证明了加速多步迭代算法的收敛性.最后,通过数值实验可以得出加速多步迭代算法在求解约束矩阵方程时有更好的收敛效果.其中,问题Ⅱ通过相应的矩阵变形也可以用加速多步迭代算法求解,数值实验说明了加速后算法的有效性.
周昱洁[2]（2020）在《几类约束矩阵方程的多步迭代算法研究》文中研究表明在解决实际生活中工程技术、控制理论、信息与图像处理、动力系统与修正、时间序列分析等众多领域的问题时引入矩阵方程的理论和方法已经成为了普遍现象[1-3].这不仅促进了现代工程与科学技术的发展,也为数值代数领域约束矩阵方程的求解提供了更多的研究方向.本篇硕士论文主要研究工作是:多步迭代算法求解如下几类约束矩阵方程.问题Ⅰ 给定矩阵A,B∈Rm×n,（m≥n）,S（?）Rm×n,求X∈S使得AX=B（或‖AX-B‖=min）.问题Ⅱ 给定 A∈Rp×m,B∈Rn×q,C∈Rp×q,（p≥m,n≤q）,S（?）Rm×n,求X∈S使得AXB=C（或‖AXB-C‖=min）.问题Ⅲ 设问题Ⅰ和Ⅱ是相容的,且其解集合为SE,给定X0∈S,求X∈SE,使得#12上述三个问题中‖·‖为Frobenius范数,S代表的是在矩阵集合Rm×n中,满足特定约束条件的矩阵集合,如一般矩阵、对称矩阵、反对称矩阵.本文基于不动点迭代的思想,给出了求解问题Ⅰ和问题Ⅱ的多步迭代算法,给出并证明了多步迭代算法的收敛条件.对比实验结果表明本文提出的多步迭代算法相对于基于梯度的迭代算法具有更好的收敛效果.最后,分析说明问题Ⅲ同样可以用多步迭代算法求解,并且数值实验也验证了该算法的有效性.
尚邵阳[3]（2020）在《广义对称性约束矩阵方程及其最小二乘问题的算法研究》文中认为约束矩阵问题在金融工程、系统工程、图像恢复以及控制论等领域有很大的应用空间,引得不少专家学者对此类问题驻足研究,并取得了一系列可观的成果。而广义约束矩阵是对约束矩阵的一个推广,其应用范围更加宽泛,解决的问题也更加多元化,如:用非奇异实矩阵乘一个一般的非对称矩阵,使新得到的积成为对称矩阵;用正定矩阵乘一般矩阵得到对称矩阵,并用来解决概率论中的问题等,此类问题对工程技术有很大的应用价值。而本篇硕士论文研究的是用任意矩阵乘以原矩阵,使其乘积成为对称矩阵的一类广义约束矩阵方程问题,主要研究工作为如下:问题Ⅰ给定M∈Rm×n,A∈Rp×n,B∈Rp×m,求X∈MSRn×n,使得AX=B,min AX-B F2.问题Ⅱ给定M∈Rm×n,A∈Rp×n,B∈Rp×m,求X∈MASRn×n,使得AX=B,min AX-B F2.问题Ⅲ给定M∈Rm×n,A∈Rp×n,B∈Rp×m,求X∈MSR0n×n,使得AX=B,mXinAX-B2F.基于矩阵的奇异值分解,矩阵广义逆和矩阵分块方法,给出问题Ⅰ,Ⅱ有解的充分必要条件和解的一般表达式,利用矩阵的广义奇异值分解计算了问题Ⅰ和问题Ⅱ的最佳逼近解。通过矩阵的谱分解给出了问题Ⅲ解的一般表达式.对于以上问题均运用数值例子说明了算法的有效性。
文娅琼[4]（2020）在《两类约束矩阵极小值问题的求解理论及有效算法》文中指出约束矩阵方程问题就是研究在某约束矩阵集合下求矩阵方程或矩阵方程组的解的问题,其中约束矩阵集合是根据有关未知矩阵的结构特征来确定的.这类问题在系统设计、参数分析、模型结构、生物工程学、固体力学、电学、图像处理、振动理论、线性最优化控制等领域有着广泛的应用.由于实际数据原因,矩阵方程系数不一定满足方程有解的充要条件,需进一步研究不相容矩阵方程的最小二乘解.本学位论文研究两类约束矩阵极小值问题,具体的研究内容组织如下:第二章,研究（R,Sσ）-交换矩阵下线性方程组AX=B,YA=D的最小二乘问题及最佳逼近问题.分析（R,Sσ）-交换矩阵的一般性结构,对σ.为一一对应映射和非一一对应映射展开讨论.通过矩阵分解分别给出了线性方程组的最小二乘（R,Sσ）-交换解和最佳逼近解的具体解析表达式,同时在方程组相容情况下分析（R,Sσ）-交换解存在的充要条件及其具体解析表达式.第三章,在第二章的基础上,从数值角度研究（R,Sσ）-交换矩阵下广义Sylvester方程∑i=1N AiXBi=C的最小二乘问题的有效算法.构造基于Barzilai-Borwein（BB）步长的最速下降法和Armijo线搜索的Modified-Polak-Ribiere-Polyak（MPRP）非线性共轭梯度法,分析算法的全局收敛性.数值实验验证算法的可行性.第四章,讨论基于多元统计分析中一类带有正交约束的矩阵迹函数极小化问题.现有Majorization算法虽可行,但迭代效率低.本文从Stiefel流形角度入手,基于Stiefel的几何性质,构造基于流形的最速下降法和黎曼牛顿法求解.对于牛顿方程,通过克罗内克积和拉直算子转化为易于求解的对称线性方程,减少算法计算工作量.数值实验验证所提算法的高效性和可行性.
黄宝华[5]（2019）在《几类矩阵方程和张量方程迭代算法研究》文中提出科学计算和工程应用中的许多问题都可转化为各类线性矩阵方程的求解.特别地,在循环平稳随机过程分析、线性离散时间周期系统的Luenberger型观测器设计、信号处理、周期鲁棒状态反馈极点配置问题和输出反馈最优周期控制问题中,我们需要寻找离散时间周期矩阵方程的解.在弹性材料的声学模拟、各向异性材料的弹性变形、结构分析中的有限元离散中,我们常常会碰到逆二次特征值问题.近二十年里,作为矩阵计算的推广,张量计算是最新的研究热点.各种形式的张量方程广泛存在于力学、物理学、Markov过程、控制理论、偏微分方程和工程问题中,如辐射传递方程、高维Possion方程、Einstein张力场方程和压电效应方程均为张量方程.特别地,谱配置方法离散三维长方体型区域辐射传递方程可得Tucker-乘积下的张量Sylvester方程.Possion问题离散后可得Einstein-乘积下的张量方程.本文研究了几类矩阵方程和张量方程的迭代解法,主要成果如下:第1章研究了一类线性周期矩阵方程的最小二乘问题及其最佳逼近问题.借助投影的性质、线性子空间约束下极小值问题的最优性条件并结合所求解方程的周期性特点,我们推导出该周期矩阵方程的法方程.接着,我们提出了有限迭代方法求该周期矩阵方程的最小二乘对称周期解并给出了算法的收敛性证明.同时,我们讨论了迭代算法中初始矩阵的选取方式,以获得该矩阵方程的唯一极小范数最小二乘对称周期解.进一步,我们将求唯一的最佳逼近解问题转化为求一个新的线性周期矩阵方程的唯一极小范数最小二乘对称周期解问题.数值实验验证了所提出算法可在有限步迭代内获得线性周期矩阵方程的最小二乘对称周期解.第2章提出了子矩阵约束下逆二次特征值问题双对称最小二乘解及其最佳逼近解的迭代算法.不同于许多线性矩阵方程共辄梯度法的导出过程,我们借助凸二次规划问题的非线性共辄梯度法构造了线性子空间约束下逆二次特征值问题最小二乘双对称解的迭代算法,并采用不同的思路证明了所提出算法的全局线性收敛性.同时,我们建立了最佳逼近问题的迭代算法.数值例子验证了所提出算法的有效性.第3章,针对Tucker-乘积下的张量Sylvester方程,我们首先构造了选主元的张量形式的全局Hessenberg过程以产生张量Krylov子空间的线性无关张量基,再利用残量极小化标准和残量正交化标准建立了基于Hessenberg的两种方法:CMRH-BTF方法和Hess-BTF方法.其次,我们将Tucker-乘积下的张量Sylvester方程写成等价的算子方程形式.基于算子双对角化过程,我们给出了张量形式的全局LSMR方法（GLSMR-BTF）的构造过程并给出了算法的具体实现细节.然后,借助于共辄梯度最小二乘方法,我们导出了张量形式的共辄梯度最小二乘方法（CGLS-BTF）求解Tucker-乘积下的张量Sylvester方程.我们证明了 CGLS-BTF方法可在有限步迭代内获得张量Sylvester方程的最小二乘解,并考虑了初始张量的选取方式以获得张量Sylvester方程的唯一极小范数最小二乘解.最后,我们用数值实验说明了本章所提出算法的有效性和优越性.第4章,对Einstein-乘积下的张量方程A*N=C,我们构造了张量形式的Arnold i和Lanczos过程以生成张量Krylov子空间的标准正交基,然后建立了张量形式的全局GMRES方法、张量形式的MINIRES方法（MINIRES-BTF）和张量形式的SYMMLQ方法（SYMMLQ-BTF）,并给出了 MINIRES-BTF方法和SYMMLQ-BTF方法的具体实现细节.我们还提出了张量形式的CR算法（CR-BTF）,并从理论上证明了 CR-BTF方法可在有限步迭代内得到张量方程的解.其次,对Einstein-乘积下的张量方程A*Nχ*M B+C*Nχ*M D=F,我们导出了张量形式的CGLS方法、张量形式的LSQR方法和张量形式的LSMR方法.此外,通过数值实验验证所提出算法的优势和可靠性.第5章提出了张量不等式D ≥ F约束下的Einstein-乘积张量方程A*Nχ*MB=C的迭代算法.利用张量的极分解定理、张量的Moore-Penrose广义逆和Hilbe rt空间分解定理证明了所提出算法的收敛性.最后,通过数值算例说明所提出算法的数值表现.
徐伟孺[6]（2019）在《结构矩阵的几类逆特征值问题及其相关矩阵方程问题》文中认为逆特征值问题主要是从给定的全部或者部分谱数据中重构造特定结构的矩阵.本文主要研究了以下五个方面内容:具有子矩阵约束的广义中心Hermitian矩阵的左右逆特征值问题;矩阵方程AX=B,YA=D的有k对合对称子的解;多水平块α循环矩阵的Procrustes问题和逆特征值问题;有子矩阵约束的对称矩阵的最小二乘反问题;伪Jacobi矩阵的逆特征值问题.具体如下:1.一个无阻尼非陀螺模型可以被离散为某个结构矩阵的左右逆特征值问题.当该矩阵为广义中心Hermitian矩阵时,研究了该问题有顺序主子矩阵约束的情形.使用Moore-Penrose广义逆、奇异值分解和广义奇异值分解得到了该约束问题可解的充要条件和解的一般表达式.另外,获得了其在Frobenius范数下最佳逼近解的解析表达式并设计了求解的数值算法.2.已知两个非平凡的k对合矩阵R和S.讨论了（R,S，μ）对称和（R,S，α,μ）对称矩阵的性质且记其集合为G.在R和S为酉矩阵的假设前提下,刻画了‖X-B‖2+ ‖H-D‖2 =min在Frobenius范数下的最小二乘解A∈G 给定任意的无结构矩阵G,在最小二乘解的集合中找出最佳逼近解A使得‖A-G‖极小化.此外,给出了矩阵方程AX=BYA=D在集合G中相容的充要条件,并刻画了相容解的解集.最后设计了相应的算法来计算最佳逼近解且给出了可验证的数值例子.3.已知K元整数组n =（n1,n2,…nk）和α=（α1,α2,…,αk）.讨论了多水平块α循环矩阵的性质.在gcd（α,n）= 1和gcd（α,n）（?）1两种情况下分别研究了该类矩阵的Procrustes问题、逆特征值问题和它们的最佳逼近问题.根据相关结果,设计了拥有给定平衡的仿真Hopfield神经网络系统且其雅克比矩阵有多水平块α循环结构的约束.最后,给出一些数值例子验证了所得结果的有效性,4.在结构动力模型更新中,需要求解矩阵方程XTAX=B的最小二乘逼近来校正可测的质量或刚度矩阵.首先使用了矩阵微积分和典型相关分解获得了该方程有尾主子矩阵A0约束的最小二乘对称解.然后,通过使用广义奇异值分解和投影定理得到了其对应于给定矩阵A*的最佳Frobenius范数逼近解,其中A*有尾主子矩阵A0约束.最后,设计了相应的数值算法和验证其可行性的数值算例.5.在非自伴背景下,将Jacobi矩阵的谱理论和逆特征值问题推广到一类伪Jacobi矩阵J（n,r,β）的情形,研究了从给定谱和两个互补的主子矩阵的谱来重构造这类矩阵.首先使用了Lanczos算法构造了两个互补的主子矩阵,然后设计了一个算法来重构造所要求的伪Jacobi矩阵并进行了一些可验证的数值实验.
杨娟[7]（2017）在《几类约束矩阵方程及其最佳逼近问题的算法研究》文中研究指明本学位论文主要解决三类问题,第一类是在循环类矩阵的约束条件下,求矩阵方程最小二乘解的问题;第二类是在两个约束条件下,求矩阵的最佳逼近问题,使用的方法是两类交替投影算法;第三类是用预处理迭代法求解线性方程组,和未预处理时的方法作对比,对方法作可行性分析.本文共分为五章,其主要内容如下:在第一章,我们介绍了约束矩阵方程求解,矩阵最佳逼近问题以及线性方程组求解的研究背景及研究成果,对本文的工作进行了简要的陈述,指明了本文的研究动机和意义,同时,给出了本文需要用到的基础知识.在第二章,我们研究了矩阵方程AX= B,AXB = C和A1XB1=C1,A2XB2,=C2的约束最小二乘问题,得出了它们的通解以及唯一解的表达式.考虑的约束条件包括:X为广义Toeplitz矩阵、上三角Toeplitz矩阵、下三角Toeplitz矩阵、对称Toeplitz矩阵、Hankel矩阵、循环矩阵、斜循环矩阵、向后（对称）循环矩阵、斜向后（对称）循环矩阵、首尾和r-循环矩阵、首尾和r-向后循环矩阵这几种情况.所使用的方法与传统的直接法和迭代法均不同,是根据约束矩阵本身所具有的特殊结构和性质来求解的.在第三章,我们研究了约束矩阵的最佳逼近问题.约束条件均有两类,第一类条件是矩阵满足某个相容矩阵方程或者不相容矩阵方程（此时约束条件变为求其最小二乘解）.另一类条件是矩阵为某个循环矩阵（第二章的各种情况）的情形.矩阵方程方面,我们考虑的是一阶矩阵方程.我们采用的算法是交替投影算法.在第四章,基于线性方程组Ax = 已经有了关于用广义双参数超松弛算法（GTOR）求解的研究成果出现.我们为了提高收敛速率,引入五个预处理因子,从而引入了预处理广义双参数超松弛算法（PGTOR）,来对线性方程组Ax = b作预处理.一方面,通过理论推导得出预处理方法比原方法的收敛半径更小,迭代速度更快的结论.另一方面,对几类不同的PGTOR算法,也作了收敛性分析和比较.数值实验结果证实了理论推导的结论是成立的.在第五章,我们进一步对本文所做的工作作结论,对可以继续开展的工作做展望.
谭云龙[8]（2014）在《四元数体上矩阵方程的循环解及反问题研究》文中提出循环矩阵是一类特殊的结构矩阵,它在信号处理、图像重建、编码技术等领域有着广泛应用.复数域上的循环矩阵类目前已有较多的研究成果,但关于四元数体上的循环矩阵类研究还相当少.本硕士论文主要讨论四元数循环矩阵的左、右特征值表示及其反问题,并研究几类四元数矩阵方程的循环解及最佳逼近算法.具体内容有:1、讨论四元数循环矩阵的特征值及其反问题.借助复数域上n次本原单位根,以及四元数矩阵的复分解,刻画了n阶四元数循环矩阵A的左、右特征值;相反地,对于任意给定的n个四元数,利用四元数矩阵的复表示方法,给出了左、右特征值反问题解的存在性,以及解A的具体表达式和算法.2、研究四元数矩阵方程XB=C的循环解及最佳逼近问题.利用循环矩阵的结构表示式,以及矩阵的Moore-Penrose广义逆,得到了该方程存在循环解的条件及其通解公式;在循环矩阵约束最小二乘解集中,获得与给定四元数循环矩阵的最佳逼近解.3、研究四元数体上Sylvester方程AX-XB=C的循环解及最佳逼近问题.利用四元数矩阵的实分解和循环矩阵的特定结构,借助Kronecker积把约束四元数矩阵方程转化为实数域上无约束方程,从而得到该方程的通解,以及循环解集中的极小F范数最佳逼近解.4、给出了混合型Lyapunov方程AX+XA*+BXB=C的循环解;并得到了连续型Lyapunov方程AX+XA*=C和离散型Lyapunov方程AXA8*-X=C的反问题解,即当X是四元数循环矩阵且C给定时,利用循环矩阵的性质,以及四元数矩阵方程的复转化方法,获得此2类方程的反问题解A的具体表达式.
于娟[9]（2014）在《几类约束矩阵方程（组）的解及其最小二乘问题》文中研究表明约束矩阵方程或方程组及其相应的最小二乘问题在诸多方面都有极强的应用背景,比如在自动控制理论、振动理论、地质学、粒子物理学、信号处理和有限元等方面都有重要的应用.本论文针对实数或复数域上某些矩阵方程（组）的几类约束解及其最小二乘问题进行了深入的研究和探讨,取得了许多新的有意义的研究成果,这些成果进一步丰富和发展了矩阵代数理论.全文共分为六章.第一章介绍了矩阵方程（组）的研究意义、发展概况和本文所做的主要工作以及一些常用记号.第二章首次给出了广义双（反）对称矩阵的分解,并用之讨论了实矩阵方程AX=B的广义双（反）对称解的可解条件、解的表达式、解的极大和极小秩及广义双（反）对称最小二乘解.第三章采用特殊矩阵的分解理论首次讨论了复矩阵方程组AX=B,XC=D的（斜）埃尔米特广义（斜）汉密尔顿解的充要条件、解的表达式、解的最佳逼近和（斜）埃尔米特广义（斜）汉密尔顿最小二乘解.第四章利用正交矩阵理论研究了实矩阵方程组AX=B.XC=D存在正交解和（反）对称正交解的充分必要条件及解的表达式,并结合矩阵谱理论给出了方程组的（反）对称正交最小二乘解的表达式.第五章利用箭形矩阵的分解首次给出了实矩阵方程组AxB=C,EXF=D的对称箭形最小二乘解及其最佳逼近解的表达式,并且研究了方程组的具有顺序主子矩阵约束的对称箭形最小二乘解及其最佳逼近解.作为应用,给出了方程组的对称箭形解和具有顺序主子矩阵约束的对称箭形解的可解条件及解的表达式.第六章总结全文并阐述可继续研究的问题.
刘先霞[10]（2013）在《几类特殊类型约束矩阵方程迭代算法的研究》文中进行了进一步梳理约束矩阵方程问题一直以来就是数值代数领域研究比较活跃的方向之一,它在许多方面都有着广泛的应用,如在结构设计、参数识别、自动控制理论、生物学、电学、振动理论、线性最优控制等领域.约束矩阵方程问题就是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问题.不同的约束条件,或不同类型的矩阵方程,都可以得到不同的约束矩阵方程问题及相应的最小二乘问题.本篇博士论文研究了不同类型主子阵或不等式约束下矩阵方程（组）的求解,讨论了不同类型矩阵或主子阵约束下矩阵方程的最小二乘问题及其相应的最佳逼近问题,谱约束下一类特殊矩阵的构造问题.完成的具体工作和主要研究成果如下：1.利用共轭梯度算法并结合梯度投影思想,构造迭代算法,解决了不同类型主子阵约束下矩阵方程AXB+CYD=E和方程组的求解.并将这种迭代思路作了推广,讨论了任意线性子空间约束下矩阵方程AXB=C的求解,大量数值算例验证了算法的可行性.2.将上述的迭代思路运用到解决矩阵方程的最小二乘问题及其最佳逼近问题上,构造迭代算法,讨论了（I,M）对称约束下矩阵方程ATXA=C的最小二乘问题及其最佳逼近.在行列不等的中心对称主子阵约束下矩阵方程（?）AiXBi=和（?）AiXiBi=C的最小二乘问题及其最佳逼近问题.并以矩阵方程AXB=C为例,讨论在任意子空间约束下的最小二乘问题及其最佳逼近问题.在不考虑舍入误差的情况下,对任意的初始矩阵该算法都可以在有限步内迭代求出问题的解.若选取特殊的初始矩阵,还可以得到问题的极小范数解.3.讨论矩阵不等式CXD≥E约束下矩阵方程AX=B的求解问题.利用矩阵方程AX=B有中心对称解的充要条件及通解表达式,将问题等价转化成矩阵不等式的最小非负偏差问题,给出一个求矩阵不等式最小非负偏差问题的迭代方法,并结合极分解定理和相关矩阵理论,给出算法的收敛性证明.根据算法迭代结果,给出判别问题有解的充要条件,并在有解的情况下,给出解的表达式.最后利用数值算例说明算法的有效性.4.研究了主子阵的谱数据约束下Jacobi矩阵的构造问题,给出了问题有唯一解的充要条件,并给出数值算例.
二、矩阵不等式AX≥B的一类反问题及其最佳逼近（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、矩阵不等式AX≥B的一类反问题及其最佳逼近（论文提纲范文）
（1）约束矩阵方程AXB+CXD=F的迭代算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究意义与研究现状 |
| §1.2 本文的主要工作 |
| §1.3 本文所用的记号 |
| 第二章 矩阵方程AXB+CXD=F的一般解的多步迭代算法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 问题Ⅰ,问题Ⅱ和问题Ⅲ的多步迭代算法 |
| §2.3 数值实验 |
| 第三章 矩阵方程AXB+CXD=F的对称解的多步迭代算法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 问题Ⅳ,问题Ⅴ和问题Ⅵ的多步迭代算法 |
| §3.3 数值实验 |
| 第四章 多步交替方向乘子法求解矩阵方程AXB+CXD=F |
| §4.1 引言 |
| §4.2 问题Ⅶ的多步迭代算法 |
| §4.3 数值实验 |
| 第五章 总结与展望 |
| §5.1 总结 |
| §5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要研究成果 |
（2）几类约束矩阵方程的多步迭代算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究意义与研究现状 |
| §1.2 本文的主要工作和创新点 |
| §1.3 本文所用的记号 |
| 第二章 约束矩阵方程AX=B的多步迭代解法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 求解矩阵方程AX=B一般解及其最佳逼近的多步迭代解法 |
| §2.3 求解矩阵方程AX=B对称解及其最佳逼近的多步迭代解法 |
| §2.4 求解矩阵方程AX=B反对称解及其最佳逼近的多步迭代解法 |
| §2.5 数值实验 |
| 第三章 约束矩阵方程AXB=C的多步迭代解法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 求解矩阵方程AXB=C一般解及其最佳逼近的多步迭代解法 |
| §3.3 求解矩阵方程AXB=C对称解及其最佳逼近的多步迭代解法 |
| §3.4 求解矩阵方程AXB=C反对称解及其最佳逼近的多步迭代解法 |
| §3.5 数值实验 |
| 第四章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要的研究成果 |
（3）广义对称性约束矩阵方程及其最小二乘问题的算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究意义与研究现状 |
| §1.2 本文的主要工作 |
| §1.3 本文所用的记号 |
| 第二章 矩阵方程AX=B及其最小二乘问题的M对称解 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 问题Ⅰ、问题Ⅱ和问题Ⅲ的解 |
| §2.3 算法与数值例子 |
| 第三章 矩阵方程AX=B及其最小二乘问题的M反对称解 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 问题Ⅳ、问题Ⅴ和问题Ⅵ的解 |
| §3.3 算法与数值例子 |
| 第四章 矩阵方程AX=B及其最小二乘问题的M对称半正定解 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 问题Ⅶ 、问题Ⅷ 以及Ⅸ问题的解 |
| §4.3 算法与数值例子 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要研究成果 |
（4）两类约束矩阵极小值问题的求解理论及有效算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Ab stract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景与发展现状 |
| §1.2 本文主要内容和创新点 |
| §1.3 本文所用记号 |
| 第二章 线性矩阵方程组AX =B,YA=D的最小二乘(R,S_σ)-交换解 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 (R,S_σ)-交换矩阵的分块结构及一般性 |
| §2.3 问题1的最小二乘(R,S_σ)-交换解及问题2的最佳逼近(R,S_σ)交换解 |
| §2.3.1 σ是Z_k→Z_k的置换(一一对应映射) |
| §2.3.2 σ是Z_k→Z_k的非一一映射 |
| §2.4 本章小结 |
| 第三章 广义Sylvester方程∑_(i=1)~NA_iXB_i=C的最小二乘(R,S_σ)-交换解 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 预备知识 |
| §3.3 求解问题3的两种迭代算法 |
| §3.3.1 最速下降法 |
| §3.3.2 Modified-Polak-Ribiere-Polyak非线性共轭梯度法 |
| §3.4 两种算法的收敛性分析 |
| §3.4.1 算法3.1的全局收敛性 |
| §3.4.2 算法32的全局收敛性 |
| §3.5 数值实验 |
| §3.6 本章小结 |
| 第四章 多元统计中一类矩阵迹函数极小化问题的黎曼牛顿法 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 预备知识 |
| §4.3 Kronecker积和vec算子以及veck算子 |
| §4.4 求解问题4的黎曼牛顿法 |
| §4.4.1 带BB步长的最速下降法求解问题4 |
| §4.4.2 黎曼牛顿法求解问题4 |
| §4.4.3 混合法求解问题4 |
| §4.5 数值实验 |
| §4.5.1 算法4.1和算法4.4的数值实验 |
| §4.5.2 算法4.4和其他算法的比较结果 |
| §4.6 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要研究成果 |
（5）几类矩阵方程和张量方程迭代算法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 绪论 |
| 第1章 一类周期矩阵方程的最小二乘对称周期解及其最佳逼近的迭代解法 |
| 1.1 问题1.0.1的迭代算法 |
| 1.2 算法1.1.1的收敛性分析 |
| 1.3 问题1.0.2的迭代算法 |
| 1.4 数值算例 |
| 第2章 子矩阵约束下逆二次特征值问题的最小二乘双对称解及其最佳逼近的迭代解法 |
| 2.1 问题2.0.1的迭代算法 |
| 2.2 算法2.1.1的收敛性分析 |
| 2.3 问题2.0.2的迭代算法 |
| 2.4 数值算例 |
| 第3章 Tucker-乘积下的张量Sylvester方程迭代解法 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 Hessenberg-BTF:张量形式的全局广义Hessenberg方法 |
| 3.2.1 张量形式的全局广义Hessenberg过程 |
| 3.2.2 CMRH-BTF和Hess-BTF方法的构造 |
| 3.3 GLSMR-BTF: 张量形式的全局最小二乘极小残差方法 |
| 3.3.1 算子双对角化过程 |
| 3.3.2 GLSMR-BTF方法的构造 |
| 3.4 CGLS-BTF: 张量形式的共轭梯度最小二乘方法 |
| 3.4.1 CGLS-BTF方法的构造 |
| 3.4.2 CGLS-BTF方法的收敛性分析 |
| 3.5 数值算例 |
| 第4章 Einstein-乘积下的张量方程迭代解法 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.1.1 张量的内积和Einstein-乘积 |
| 4.1.2 张量形式的全局Arnoldi和Lanczos过程 |
| 4.2 Einstein-乘积下的张量方程A_(*N)χ=C的数值解法 |
| 4.2.1 GMRES-BTF: 张量形式的全局GMRES方法 |
| 4.2.2 MINIRES-BTF: 张量形式的MINIRES方法 |
| 4.2.3 SYMMLQ-BTF: 张量形式的SYMMLQ方法 |
| 4.2.4 CR-BTF: 张量形式的CR算法 |
| 4.2.5 数值算例 |
| 4.3 Einstein-乘积下的张量方程A_(*N)χ_(*M)B+C_(*N)χ_(*M)D=F的数值解法 |
| 4.3.1 CGLS-BTF: 张量形式的CGLS方法 |
| 4.3.2 LSQR-BTF: 张量形式的LSQR方法 |
| 4.3.3 LSMR-BTF: 张量形式的LSMR方法 |
| 4.3.4 数值算例 |
| 第5章 一类张量不等式约束条件下的张量方程迭代解法 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 问题的转化 |
| 5.3 解的性质 |
| 5.4 迭代算法和收敛性分析 |
| 5.5 数值算例 |
| 第6章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）结构矩阵的几类逆特征值问题及其相关矩阵方程问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景与意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的结构与主要工作 |
| 1.4 本文的创新点 |
| 第二章 具有子矩阵约束的广义中心Hermitian矩阵的左右逆特征值问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 子矩阵约束的左右逆特征值问题的可解条件 |
| 2.3 已修正最佳逼近问题的唯一解 |
| 2.4 数值算法与算例 |
| 2.5 小结与展望 |
| 第三章 线性矩阵方程AX=B. YA=D的有k对合对称子的解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 (R，S,μ)对称解的刻画 |
| 3.4 (R，S,α,μ)对称解的刻画 |
| 3.5 数值算法与算例 |
| 3.6 小结与展望 |
| 第四章 多水平块α循环矩阵的Procrustes问题和逆特征值问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 集合L_α中矩阵的完备Procrustes问题 |
| 4.3.1 情形gcd(α,n)=1 |
| 4.3.2 情形gcd(α,n)(?)1 |
| 4.4 集合L_α中矩阵的逆特征值问题 |
| 4.5 Hopfield神经网络设计问题 |
| 4.6 小结与展望 |
| 第五章 振动结构设计中子矩阵约束的最小二乘反问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题5.1的精确解 |
| 5.3 问题5.2的最佳逼近解 |
| 5.4 数值算法与实例 |
| 5.5 小结与展望 |
| 第六章 一类伪Jacobi矩阵的逆特征值问题 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 J(n,r,β)中伪Jacobi矩阵的谱性质 |
| 6.3 问题IEPPJ可解的充要条件 |
| 6.4 数值算法和实验 |
| 6.5 小结与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 博士在读期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（7）几类约束矩阵方程及其最佳逼近问题的算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 约束矩阵方程问题的研究背景、意义及现状 |
| 1.2 本文的主要内容、结构安排与创新点 |
| 1.3 预备知识 |
| 第2章 几类约束矩阵方程的最小二乘问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 矩阵AX=B的约束最小二乘问题 |
| 2.2.1 广义Toeplitz矩阵问题 |
| 2.2.2 上三角Toeplitz矩阵问题 |
| 2.2.3 下三角Toeplitz矩阵问题 |
| 2.2.4 对称Toeplitz矩阵问题 |
| 2.2.5 Hankel矩阵问题 |
| 2.2.6 数值算例 |
| 2.3 矩阵AXB=C的约束最小二乘问题 |
| 2.3.1 广义Toeplitz矩阵问题 |
| 2.3.2 上三角Toeplitz矩阵问题 |
| 2.3.3 下三角Toeplitz矩阵问题 |
| 2.3.4 对称Toeplitz矩阵问题 |
| 2.3.5 Hankel矩阵问题 |
| 2.3.6 数值算例 |
| 2.4 矩阵A_1XB_1=C_1,A_2XB_2=C_2的约束最小二乘问题 |
| 2.4.1 循环矩阵问题 |
| 2.4.2 斜循环矩阵问题 |
| 2.4.3 向后(对称)循环矩阵问题 |
| 2.4.4 斜向后(对称)循环矩阵问题 |
| 2.4.5 首尾和r-循环矩阵问题 |
| 2.4.6 首尾和r-向后循环矩阵问题 |
| 2.4.7 数值算例 |
| 第3章 交替投影算法求最佳逼近问题 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 第一类最佳逼近问题 |
| 3.2.1 X在L和W上的投影:P_L(X) and P_W(X) |
| 3.2.1.1 L为广义Toeplitz矩阵时 |
| 3.2.1.2 L为上三角Toeplitz矩阵时 |
| 3.2.1.3 L为下三角Toeplitz矩阵时 |
| 3.2.1.4 L为对称Toeplitz矩阵时 |
| 3.2.1.5 L为Hankel矩阵时 |
| 3.2.2 算法 |
| 3.2.3 数值实例 |
| 3.3 第二类最佳逼近问题 |
| 3.3.1 X在L和W上的投影:P_L(X) and P_W(X) |
| 3.3.1.1 L为首尾和r-循环矩阵时 |
| 3.3.1.2 L为首尾和r-向后循环矩阵时 |
| 3.3.2 算法 |
| 3.3.3 数值实例 |
| 3.4 第三类最佳逼近问题 |
| 3.4.1 Z在M_1,M_2和M_3上的投影:P_(M1)(Z),P_(M2)(Z),P_(M3)(Z) |
| 3.4.2 算法 |
| 第4章 PGTOR迭代法与GTOR迭代法的收敛性分析 |
| 4.1 引言 |
| 4.1.1 预备知识 |
| 4.2 GTOR迭代法与三类PGTOR迭代法的收敛性分析 |
| 4.2.1 数值实例 |
| 4.3 GTOR迭代法与另两类PGTOR迭代法的收敛性分析 |
| 4.3.1 数值实例 |
| 第5章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 (攻读学位期间所发表和投稿论文目录) |
（8）四元数体上矩阵方程的循环解及反问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景及问题提出 |
| 1.2 预备知识 |
| 2 四元数体上循环矩阵的特征值及其反问题 |
| 2.1 四元数循环矩阵的左、右特征值 |
| 2.2 四元数循环矩阵的特征值反问题 |
| 2.2.1 问题2.1的解 |
| 2.2.2 问题2.2的解 |
| 2.3 算法及算例 |
| 2.3.1 计算步骤 |
| 2.3.2 数值算例 |
| 3 四元数矩阵方程XB = C的循环解及其最佳逼近 |
| 3.1 四元数矩阵方程XB = C的循环解 |
| 3.2 四元数矩阵方程XB = C循环约束最佳逼近 |
| 3.3 算法及算例 |
| 3.3.1 计算步骤 |
| 3.3.2 数值算例 |
| 4 四元数体上Sylvester方程的循环解及其最佳逼近 |
| 4.1 四元数体上Sylvester方程的循环解 |
| 4.2 四元数体上Sylvester方程循环约束最佳逼近 |
| 4.3 算法及算例 |
| 4.3.1 计算步骤 |
| 4.3.2 数值算例 |
| 5 四元数体上Lyapunov方程的循环解及反问题 |
| 5.1 四元数体上混合型Lyapunov方程的循环解 |
| 5.1.1 问题5.1的解 |
| 5.1.2 计算步骤 |
| 5.2 连续型Lyapunov方程的反问题 |
| 5.2.1 问题5.2的解 |
| 5.2.2 算法步骤 |
| 5.3 离散型Lyapunov方程的反问题 |
| 5.3.1 问题5.3的解 |
| 5.3.2 矩阵的分解 |
| 5.3.3 计算步骤 |
| 5.3.4 数值算例 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 发表与完成文章目录 |
（9）几类约束矩阵方程（组）的解及其最小二乘问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究意义与发展概况 |
| 1.2 本文所做的主要工作 |
| 1.3 常用记号 |
| 第二章 实矩阵方程AX=B的广义双(反)对称解及其最小二乘问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 实矩阵方程(1.1.3)的广义双(反)对称解的存在条件及解的表达式 |
| 2.3 实矩阵方程(1.1.3)的广义双(反)对称解的极秩 |
| 2.4 实矩阵方程(1.1.3)的广义双(反)对称最小二乘解 |
| 2.5 数值算法和算例 |
| 第三章 复矩阵方程组AX=B,XC=D的(斜)埃尔米特广义(斜)汉密尔顿解及其最小二乘问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 复矩阵方程组(1.1.4)的(斜)埃尔米特广义(斜)汉密尔顿解的存在条件及解的表达式 |
| 3.4 复矩阵方程组(1.1.4)的(斜)埃尔米特广义(斜)汉密尔顿解的最佳逼近 |
| 3.5 复矩阵方程组(1.1.4)的(斜)埃尔米特广义(斜)汉密尔顿最小二乘解 |
| 3.6 数值算法和算例 |
| 第四章 实矩阵方程组AX=B,XC=D的正交解和(反)对称正交解及其最小二乘问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 实矩阵方程组(1.1.4)存在正交解和(反)对称正交解的条件及解的表达式 |
| 4.3.1 实矩阵方程组(1.1.4)存在正交解的充要条件及解的表达式 |
| 4.3.2 实矩阵方程组(1.1.4)存在对称正交解的充要条件及解的表达式 |
| 4.3.3 实矩阵方程组(1.1.4)存在反对称正交解的充要条件及解的表达式 |
| 4.4 实矩阵方程组(1.1.4)的(反)对称正交最小二乘解 |
| 4.5 数值算法和算例 |
| 第五章 实矩阵方程组AXB=C,EXF=D的对称箭形最小二乘解及其最佳逼近 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 实矩阵方程组(1.1.2)的对称箭形最小二乘解及其最佳逼近 |
| 5.3 实矩阵方程组(1.1.2)的具有顺序主子阵约束的对称箭形最小二乘解及其最佳逼近 |
| 5.4 数值算法和算例 |
| 第六章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 致谢 |
（10）几类特殊类型约束矩阵方程迭代算法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的研究意义及发展概况 |
| 1.2 本文主要工作及创新点 |
| 1.3 本文所用记号 |
| 第2章 不同类型主子阵约束下矩阵方程(组)的求解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 不同类型主子阵约束下矩阵方程求解的迭代算法 |
| 2.3 不同类型主子阵约束下矩阵方程组求解的迭代算法 |
| 2.4 梯度投影的CG算法对于矩阵方程问题的应用推广 |
| 第3章 不同类型矩阵或主子阵约束下矩阵方程的最小二乘问题及其相应的最佳逼近问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 迭代法求解约束矩阵方程A~TXA=C的最小二乘解及其最佳逼近 |
| 3.3 迭代法求解行列不相等的中心对称中心主子阵约束下矩阵方程∑i=1lA_iXB_i=C的最小二乘解及其最佳逼近 |
| 3.4 迭代法求解行列不相等的中心对称中心主子阵约束下矩阵方程∑i=1lA_iX_iB_i=C的最小二乘解及其最佳逼近 |
| 3.5 带梯度投影的CGLS算法对于矩阵方程最小二乘问题的应用推广 |
| 第4章 矩阵不等式CXD≥E约束下矩阵方程AX=B的实(B,S)对称解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题的转换 |
| 4.3 问题(4.14)的解的存在性 |
| 4.4 求解问题(4.14)的迭代方法及收敛性分析 |
| 4.5 数值算例 |
| 第5章 由主子阵的谱数据构造Jacobi矩阵 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题5.1和问题5.2有唯一解的条件 |
| 5.3 算法和数值例子 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A (攻读学位期间完成和发表的学术论文目录) |
| 致谢 |
四、矩阵不等式AX≥B的一类反问题及其最佳逼近（论文参考文献）
- [1]约束矩阵方程AXB+CXD=F的迭代算法研究[D]. 王杰. 桂林电子科技大学, 2021(02)
- [2]几类约束矩阵方程的多步迭代算法研究[D]. 周昱洁. 桂林电子科技大学, 2020(04)
- [3]广义对称性约束矩阵方程及其最小二乘问题的算法研究[D]. 尚邵阳. 桂林电子科技大学, 2020(02)
- [4]两类约束矩阵极小值问题的求解理论及有效算法[D]. 文娅琼. 桂林电子科技大学, 2020(04)
- [5]几类矩阵方程和张量方程迭代算法研究[D]. 黄宝华. 福建师范大学, 2019(12)
- [6]结构矩阵的几类逆特征值问题及其相关矩阵方程问题[D]. 徐伟孺. 华东师范大学, 2019(09)
- [7]几类约束矩阵方程及其最佳逼近问题的算法研究[D]. 杨娟. 湖南大学, 2017(06)
- [8]四元数体上矩阵方程的循环解及反问题研究[D]. 谭云龙. 广西民族大学, 2014(02)
- [9]几类约束矩阵方程（组）的解及其最小二乘问题[D]. 于娟. 上海大学, 2014(03)
- [10]几类特殊类型约束矩阵方程迭代算法的研究[D]. 刘先霞. 湖南大学, 2013(01)