一、算子半群对非椭圆微分算子的应用（论文文献综述）
张继伟[1]（2021）在《非局部和反常扩散模型的数值方法》文中研究表明由于非局部模型能够描述某些重要物理现象产生的奇性和间断机制,近些年来在很多领域受到广泛应用并对相关学科的发展产生了强有力的推动作用.反常扩散模型作为一个重要的非局部模型,常用于描述反常扩散等现象.非局部模型的非局部性和多尺度特征不仅推动了新的数学理论的发现,而且为现有的离散和局部连续模型及其联系提供了新的视角.尽管已经有很多成果,但无论是从数学方法和基础理论还是数值方法角度来看,多尺度非局部和反常扩散模型都有广阔的研究空间.进一步发展和完善基础数学理论和方法,在真实的解正则性条件下发展新的高效数值格式,尤其是具有稳定、收敛、满足渐近兼容的数值格式是一个研究重点.在过去的几年里,本文作者一直致力于非局部模型的数学理论和数值方法研究,在人工边界条件设计、非局部极值原理和渐近兼容的数值格式等方面,取得了一些有意义的研究成果.在反常扩散方程的数值分析方面,发展了 Caputo导数的快速算法和离散分数阶类型的Gr（o|"）nwall不等式,并提出了误差卷积结构的思想来表示局部相容误差,为一类常用变步长数值格式的最优误差估计提供了一些基础分析框架.要完全解决非局部和反常扩散模型中的各种数学问题还有相当长的距离,需要进一步深入研究.希望本文能为推动多尺度非局部模型和反常扩散模型的基础理论和算法的深入发展起到抛砖引玉的作用.
杨晓雷[2]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的适定性和解的渐近性》文中认为本博士学位论文主要研究了几类分数阶发展型偏微分方程的适定性和解的渐近行为.在第一章中,我们首先简要阐述了分数阶微积分概念的由来,历史上几个有影响力的关于分数阶微积分的定义以及这些定义的简单推导过程,并给出了当前基础数学中使用最为广泛的分数阶微积分的Riemann-Liouville定义;随后,我们指出了分数阶微积分在当前科学研究中所涉及到的一些领域;接着,基于文章中分数阶算子在带Gauss白噪声的随机偏微分方程中的应用,我们对随机现象和白噪声进行了概述;最后,我们回顾了偏微分方程研究所需要的一些预备知识,包括一些经典的假设,常用的数学符号,函数空间,半群的定义及性质和范数估计等,并集中列出了后文中所涉及的一些随机方面的概念和不等式.在第二章中,我们研究了一类用分数阶算子表示的确定性非局部粒子扩散系统.首先,我们仔细分析了已有文献的相关研究结果,对分数阶算子定义中包含的核函数的内在性质作了进一步的挖掘,弥补了文献的理论分析中的某些漏洞;然后,我们根据方程的特点和解的相应结构和性质,寻找与之对应的经典方程及核函数作为其渐近方程和渐近核函数,利用经典方程的核函数所具有的性质,通过适当的配项和细致的分频分析技巧,将所研究的分数阶方程的核函数与渐近核函数作对比,用频谱分析的方法仔细刻画它们之间的细微差别;最后,我们根据经典数学分析和实分析中的相关收敛理论和分析工具,得到了含有分数阶微分算子的确定性非局部粒子扩散系统解的渐近行为.在第三章中,我们研究了二维环面T2上的带白噪声随机扩散的Log-Euler方程的适定性.首先,我们借助于已有的经典方法,将随机Log-Euler方程转化为带随机系数的偏微分方程;然后,我们确定了相应的函数空间,构造了该函数空间上对应于温和解形式的映射,通过一系列基本不等式得到了某假设条件下映射的压缩性,从而利用压缩映射原理得到了满足该假设条件的随机Log-Euler方程的路径局部解的存在唯一性;最后,通过解在局部区间上的范数递减性质,得到二维环面T2上的Log-Euler方程的Cauchy问题解的大概率全局存在唯一性.同时,我们的方法还可以用来讨论β-广义SQG方程和二维带对数奇异速度的Loglog-Euler方程概率意义下解的全局存在唯一性.在第四章中,我们考虑了初值为白噪声,带混合边界条件的热方程的初边值问题.首先,我们利用Green函数的特点和级数的收敛性技巧修正了文献中一些极限公式并简化了相关的证明;其次,我们讨论了具有更一般边界条件的热方程初边值问题解的平均热量在几乎确定意义下的爆破和快速冷却行为.本章得到的极限公式和主要估计将为我们进一步研究时间分数阶方程甚至时空分数阶方程奠定基础.在第五章中,我们研究了一类有界域上It?o型随机反应扩散方程的抽象Cauchy问题.首先,我们利用分数幂算子和算子半群等工具分析了非线性项和随机系数对抽象随机反应扩散方程Cauchy问题适定性的影响;然后,对全局Lipschitz的非线性项和随机系数,给出了由时间离散半隐式迭代格式得到的逼近解逼近原抽象Cauchy问题的真实解的Lp-收敛性,修正和完善了已有文献中p阶矩一致收敛性的证明方法.
董文慧[3]（2020）在《有限维非线性滤波的分类及实时无记忆滤波方法的研究》文中指出现实世界中的信息由于受到噪声的干扰而无法准确测量,如何对连续的或离散的输入过程中的干扰噪声进行滤除以提取有用信息,或者如何在带有噪声的信号中获得关于有用信息的“最好”估计,此即为滤波。滤波理论作为估计理论中研究最为活跃的分支之一,被广泛应用于通信、定位导航、图像处理等诸多领域。根据系统是线性的或非线性的特征,可将其分为线性滤波和非线性滤波。对于一般的非线性滤波问题,如果给出了关于系统状态的后验条件概率所满足的演化方程的描述,则可以求得最优非线性滤波器,而这个可以通过对非归一化的状态条件密度ρ（t,x）所满足的Duncan-Mortensen-Zakai（DMZ）方程进行归一化处理得到。DMZ方程是一个随机偏微分方程,一般情况下难以求解。自上世纪70年代,有限维滤波成为非线性滤波领域的一个研究热点。因为有限维滤波只需要通过计算有限个充分统计量就可给出ρ（t,x）的解析计算式,具有显着优势。受到利用Wei-Norman方法求解时变线性微分算子方程的启发,Brockett,Clark,Mitter等人提出首先通过对滤波系统所对应的DMZ方程中的微分算子生成的有限维李代数进行分类,然后来构造滤波系统的有限维滤波器。Yau及其合作者在21世纪初完成了对最大秩下有限维估计代数的完全分类,但目前对非最大秩下的有限维估计代数的分类研究还很少。本文主要研究一类状态空间维数是4,线性秩为1的非最大秩下有限维估计代数的结构,同时在满足一些条件下构造出了一类新的多项式滤波系统,其相应的Wong-Ω矩阵元素可以是二次甚至是更高次的多项式,此外,利用Wei-Norman方法构造出这类新的系统的有限维滤波器。另一种研究思路是基于偏微分方程的求解来设计实时高效的非线性滤波器。DMZ方程是一个二阶随机偏微分方程,一般很难得到其闭形式解,因此可以通过数值求解DMZ方程的方法来设计次优非线性滤波器。本文基于线上和线下相结合的Yau-Yau滤波方法来设计非线性滤波器,其中线下部分是求解前向Kolmogorov方程,它是一个与观测无关的二阶线性偏微分方程。本论文主要通过引入扩展的Legendre多项式,利用Galerkin谱方法数值求解前向Kolmogorov方程,同时给出Legendre-Galerkin谱方法的收敛性分析证明。此外,本文提出的算法分别在时变和时不变的二维非线性滤波算例上进行数值测试,并且与现在常用的滤波算法如扩展卡尔曼滤波和粒子滤波,进行了滤波性能对比,数值模拟结果也进一步验证了我们提出的滤波算法的实时高效性以及准确性。
邓联望[4]（2019）在《一类无穷维微分方程二分解的定性研究》文中研究说明在合适的无穷维Banach空间上,一些泛函微分方程或偏微分方程能被写成具有某类算子的抽象常微分方程,从而研究这些无穷维微分方程解的存在性及相关性质可以转化为研究其对应的抽象常微分方程解的性质.本学位论文研究了一类无穷维Banach空间上含扇形二分算子的抽象常微分方程,运用算子半群理论,动力系统理论和定性分析,在给定的二分初始条件下,得到了这类抽象常微分方程二分解的存在唯一性,正则性,对二分初始值的连续依赖性,范数估计式以及平衡点附近不变流形的存在性与光滑性等理论结果,并将这些理论结果应用到一类无限圆柱域上的拟线性椭圆型偏微分方程.具体内容包括以下三个部分:第一部分,研究了Banach空间Z上稠定的双曲双扇形算子S.首先,给出了双曲双扇形算子S的一个较为容易验证的充分判据.然后,根据此判据中所呈现的S的谱在复平面的分布情况,通过得到S在无穷远处的谱分解结果与Banach空间Z的直和分解结果,Z=X⊕Y,给出了双曲双扇形算子S是扇形二分算子的充分条件,使得S|X与-S|Y分别是X与Y上的稠定的扇形算子.这推广了Bart等学者[9]关于证明某类算子是指数二分算子的结果,同时也完善了Winklmeier和Wyss[94]关于双曲双扇形算子的谱分解结果.接着,将扇形算子的分数幂算子与中间空间的定义推广至扇形二分算子,构造了扇形二分算子S的分数幂算子以及两个存在于扇形二分算子S的定义域D（S）与Z之间的中间空间,分别是分数幂空间Zα与插值空间DS（θ,∞）,α,θ∈（0,1）.并且,分别得到了Zα与DS（θ,∞）的直和分解关系,也得到了连续嵌入关系D（S）→DS（θ,∞）→Zα→Z（0<α<θ<1）及其插值估计式.本文中,Zα将被应用于研究抽象常微分方程的非线性项,DS（θ,∞）将被应用于研究二分解的正则性.（参见本文第三章）第二部分,在给定的二分初始条件下,研究了一类无穷维Banach空间上含扇形二分算子的抽象常微分方程,具体可细分为一类线性非齐次方程与三类含不同非线性项假设条件的半线性方程.首先,研究了一类线性非齐次方程,得到了解的存在唯一性以及讨论了解的正则性.然后,研究了一类半线性方程,得到了二分解的存在唯一性,正则性,对二分初始值的连续依赖性以及在Zα范数下的估计式.接着,研究了一类含局部Ck,γ光滑非线性项的非自治微分方程,得到了平衡点附近局部不变的稳定积分流形的存在性以及Ck,γ光滑性质.Ck,γ局部不稳定积分流形可以直接通过逆转时间变量,由已知的Ck,γ局部稳定积分流形结果得到.最后,研究了一类含全局Ck,γ光滑非线性项的自治方程,得到了平衡点附近全局不变的稳定流形的存在性以及Ck,γ光滑性质.Ck,γ全局不稳定流形可以直接通过逆转时间变量,由已知的Ck,γ全局稳定流形结果得到.（参见本文第四章和第五章）第三部分,使用上述扇形二分算子的扰动结果研究了一类无限圆柱域上的拟线性椭圆型偏微分方程,在给定的边值条件下,得到了这类椭圆型方程的解的存在性与渐近行为.相比于ElBialy[27]使用强连续双半群生成元研究这类椭圆型方程的工作,在非线性项具有相同Lipschitz性质的假设下,本文得到了椭圆型方程解的更高正则性.然后,考虑了含非稠定的双曲双扇形算子S的抽象常微分方程,证明了上述理论结果在（?）上能够被应用.（参见本文第六章）
王为为[5]（2018）在《Laplace算子和DtN算子谱渐近问题研究》文中指出本文主要研究Laplace和DtN算子谱的一些相关问题.在过去的一个世纪,许多数学家对微分算子和拟微分算子相关的Weyl渐近和热迹渐近展开进行了仔细的研究.他们改进了 Weyl渐进的余项,从热迹展开中找到了新的谱不变量.利用这些谱不变量,许多逆谱问题的重要定理也得到了证明.因为V.Lazutkin和D.Terman构造了平面凸区域使得它的两项Weyl渐近余项阶不小于任意给定常数,所以我们无法对所有的平面区域得到统一的Weyl渐进余项阶改进.但对于包含平面圆盘在内的一些特殊的具有“可积性”区域,这种改进仍然是可行的.法国数学家Y.Colin de Verdiere将这个问题转化为一个格点问题余项的估计,运用格点问题中的标准方法,证明这时的余项阶数为2/3.通过使用Weyl-van der Corput不等式（A-过程）和Poisson求和公式之后的驻相法（B-过程）,我们能够在第二章中得到Y.Colin de Verdiere结果的一个改进.在给定条件下,寻找使得特定谱值最大（或最小）区域的问题是谱几何中非常有名的问题.在P.Antunes和P.Freitas 2012年的工作之后,关于渐进意义下寻找特征值优化区域的问题研究变得越来越活跃.这类问题通常等价于寻找使得区域在拉伸变换下拥有最多（或最少）格点的最佳拉伸系数.这也导致一系列关于格点数优化问题的研究.而已有的工作主要集中于讨论边界曲率非零的区域,我们将考虑边界存在曲率为零点时的情形.并在第三章中证明,也将会有同样的结果,即优化区域在个坐标超平面上体积是相等的.最后,我们在之前一些结果的基础上,对带势函数的DtN算子的热迹展开进行研究.利用Seeley的方法,我们将计算相对热不变量a4,并归纳其它相对热不变量的一般形式.由这些谱不变量,我发现等谱集中势函数沿边界的积分是固定的.之后,利用Sobolev嵌入定理和广义迹算子的性质,我们推出这些势函数的一些Sobolev范数具有下界.此外,我们证明了,如果这些等谱集中势函数满足其它的一些条件,例如是径向对称的,那么它的Cauchy data也将被由谱决定.
郑诗洋[6]（2011）在《正则预解算子族的逼近和扰动》文中研究说明本文中,我们主要研究了C-正则预解算子族的逼近定理以及（a,k）-正则C-预解算子族的乘积扰动定理.其中第二章中我们分为指数有界和非指数有界两种情形研究了C-正则预解算子族的逼近定理.第二节我们主要使用拉普拉斯变换的工具和卷积技巧证明了在一定条件下正则预解算子族的收敛性等价于其拉普拉斯变换的收敛性,改进了C-半群和预解算子族的相应结果.第三节我们主要运用泛函演算的技巧,结合第一节所证的引理,在特殊的标量核下改进了已知的C-半群的结果.在第三章中,我们研究了（a,k）-正则C-预解算子族的右乘积扰动,完善了Marko的结果.在第二节中,我们先参照以往的结果对扰动的算子B给出了合理的假设,然后再证明了在此条件下积分方程解的存在唯一性,并证明了A（I+B）型算子仍是（a,k）-正则C-预解算子族的次生成元的扰动定理.
许美珍[7]（2011）在《常微分算子理论的发展》文中研究指明常微分算子理论是以量子力学为应用背景,综合常微分方程、泛函分析、算子代数及空间理论等理论、方法发展起来的一门系统的、内容广泛的数学分支.它是解决数学物理方程以及大量科学技术应用问题的重要数学工具.常微分算子理论所研究的主要内容包括：自共轭域、谱分析、亏指数及逆谱问题等.本文在查阅了大量的原始文献和有关研究文献的基础上,利用文献分析研究与文献比较研究的方法,从以下几个方面较系统地研究了常微分算子理论的发展历程.一、通过对Sturm和Liouville的工作及其它关于记载这些成果的史料进行分析与研究,从以下几个方面探寻了常微分算子理论的源流：（1）Sturm和Liouville成果的研究背景；（2）分析Sturm和Liouville的工作；（3） Sturm-Liouville理论的意义；（4） Sturm和Liouville工作的后续发展.二、通过对20世纪早期的一些关于二阶奇异边值问题的文献进行系统分析与考察,从以下几个方面论述了Weyl（1910）, Dixon （1912） Stone （1932）和Titchmarsh （1940-1950）的工作对常微分算子理论发展的贡献.我们发现Weyl和Titchmarsh的成果基本上源于经典的实分析和复分析,而Stone的研究工作是Hilbert函数空间抽象理论中自共轭算子与线性常微分方程理论结合的产物.1.1910年,Weyl不仅开创了奇异S-L微分方程的研究,而且首次考虑了微分方程的分析特征.特别是一些新概念和新成果的提出,使S-L理论在20世纪的发展步入了一个新的发展阶段,也为后来的von Neumann和Stone在微分算子理论方面的研究以及为Titchmarsh应用复变换技巧提供了思想渊源.2.1912年,Dixon第一次将系数函数p,q,w的连续性条件由Lebesgue可积条件来代替,此Lebesgue可积性条件也是现代微分算子研究中对系数要求最低的条件.3.1932年,Stone首次在Hilbert函数空问上讨论具有Lebesgue可积系数的二阶微分算子的一般理论.4. Titchmarsh应用单个复变量函数的展开理论研究了正则情形和奇异情形的S-L边值问题.三、通过分析与研究关于常微分算子自伴域描述的已有成果,系统地总结了常型和奇异常微分算子自伴域描述的发展脉络.1.高阶常型微分算子自伴域的描述问题于20世纪50年代彻底解决,1954年Coddington利用矩阵理论和共轭边条件的有关结论,给出了以边条件形式表示的自伴域,这是一个直接的描述结果；同年,Naimark给出了拟微分算子自伴域的描述；1962年,Everitt用微分方程的线性独立解来描述算子的自伴域,在系数足够光滑的条件下,这三个结论是等价的.2.通过分析奇异微分算子自伴域描述的一些重要成果,比如,Weyl-Titchmarsh自伴域,Everitt自伴域,曹之江-自伴域和孙炯-自伴域,论述了曹之江-自伴域的重要性,它是一种直接而完全的自伴域描述,使得奇异微分算子自伴域描述的问题彻底解决.四、通过分析和考察大量的关于谱分析方面的文章,主要以离散谱和本质谱的判别为核心梳理了实自伴微分算子,加权的奇异微分算子及J-自伴微分算子离散谱的判别工作和几类特定微分算子本质谱的判别结果.五、通过挖掘和考察大量的关于亏指数方面的第一手文献,系统地论述了奇异实对称微分算子和复对称微分算子在二阶和高阶情形下极限点型和圆型的判别工作
陈仁毓[8]（2012）在《加权复合算子的超循环性及线性分式映射的半群嵌入问题》文中进行了进一步梳理本文讨论了定义在N维复开单位球BN上线性分式映射的一些性质,系统地论述了线性分式自映射在相似这个关系下的相似标准形。通过这些标准形,讨论了φ是线性分式自映射时,不同参数下级数∑（n-1）∞1（1-|φn|）α的敛散性.本文还研究了线性分式自映射φ以及全纯函数Ψ满足一定条件时,由这两个映射所诱导的复合算子的特征值问题,并在此基础上,总结出一类加权复合算子以及加权复合算子的伴随的超循环性。此外,论文还讨论了线性分式自映射半群的嵌入问题。利用线性分式自映射的相似标准形,结合矩阵论中的一些方法,论文完整地讨论了椭圆型线性分式自映射的半群嵌入问题。最后,论文得出了非椭圆型线性分式自映射能嵌入到某个线性分式映射半群的一些条件.这些条件能很好的解答当维数为2时,具有不变切片的非椭圆型线性分式自映射的半群嵌入问题.这些判断条件还能很好地回答自同构的半群嵌入问题.
邓清泉[9]（2009）在《一类拟微分算子解的估计及应用》文中研究指明自上个世纪二十年代以来,Schr（o|）dinger方程就一直是数学物理界所关注和研究的核心论题之一,其理论和应用背景十分丰富。高阶Schr（o|¨）dinger方程甚至更一般的Schr（o|¨）dinger方程都是Schr（o|¨）dinger方程的自然延伸和发展,对其研究不仅会对数学本身提出更多的挑战,同时也能加深对Schr（o|¨）dinger方程的认识。本文主要考虑了在某种退化条件下的一类拟微分方程的解的Lp—Lq估计,文章给出了其基本解的逐点时空估计。作为应用,这些估计可被用来证明带可积位势的高阶Schr（o|¨）dinger算子在Lp（Rn）上能生成分数次的可积半群。在具体的研究中,本文主要采用的是调和分析的方法和技术,同时还结合了泛函分析的一些重要的工具和手段,这其中包括了算子插值、曲面上的Fourier变换、单位分解技术、积分半群等。特别地,采用的振荡积分技术最近被频繁地用于Schr（o|¨）dinger方程的研究之中。
朱朝生[10]（2007）在《非线性波动方程的全局吸引子》文中研究指明非线性Kirchhoff方程、Schr（?）dinger方程、Benjaznin-Bona-Mahony方程都是重要的波动方程。其中非线性Kirchhoff方程起源于对弹性细弦的微小振动的描述[54]，非线性Schr（?）dinger方程是量子力学中的重要模型[40]，而非线性Benjamin-Bona-Mahony方程则是描述非线性色散和耗散相互作用的长波传播模型[9]。有许多文献研究过这三类方程，并取得了一系列重要进展。尤其是对这三类方程初边值问题解的全局存在性及其渐近行为的研究取得了丰硕的成果[1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，14，15，16，17，18，28，29，30，33，48，49，50，59，61，64，65，70，71，72，73，74，75，77，78，81，82，83，84，85，95，96，97]。从偏微分方程的定性研究来看，最关键的是要建立对定解问题的解对时间t大范围的一致先验估计[43]。因此，由发展方程定义的无穷维动力系统是研究偏微分方程的一个重要方面。本文的主要目的是在这方面作一些研究，即：（1）研究带三种不同边界条件的非线性Kirchhoff方程全局吸引子的存在性；（2）研究带非线性边界条件的Schr（?）dinger方程全局吸引子的存在性和正则性；（3）用调和分析方法研究R1上Benjamin-Bona-Mahony方程全局吸引子的存在性。全文共分六章。第一章，引言，介绍无穷维动力系统的基本理论以及本文的主要结果。第二、三、四章，分别研究带三种不同边界条件的Kirchhoff方程全局吸引子的存在性。目前，对齐次边界条件的发展方程定义的无穷维动力系统全局吸引子及相关问题已有全面完美的结果[7，19，20，21，31，32，34，35，36，37，38，39，41，42，43，44，45，46，47，53，56，57，58，62，67，76，79，86，87，88，89，90，91，92，93，94，98，99]。但是对非齐次边界条件的发展方程定义的无穷维动力系统全局吸引子及相关问题还有许多问题需要解决[22，23，24，25]。这正是我们研究带三种不同边界条件的Kirchhoff方程全局吸引子存在性的原因。众所周知，一个紧的全局吸引子存在当且仅当解算子半群有一个有界吸收集，且算子半群是渐近紧的[88]。我们在证明有界吸收集存在性的时候，遇到了第一个困难，即，非齐次边界条件。为了克服这个困难，我们采用能量扰动方法[100，66]和来自于[55]的技术。其次，对渐近紧性的证明，通常采用算子分解的方法把解算子分解成紧的和渐近小的两部分。然而，由于M（‖▽u‖2）是非线性的，给我们的证明增加了困难。为了战胜这个困难，我们将采用一种不同于Papadopoulos，Stavrakakis[74，75，76]新的分解方法来证明渐近紧性。具体来说，第二章，研究带非线性边界条件的Kirchhoff方程解和全局吸引子的存在性。我们分两种情况来讨论，即当M（‖▽u‖2）≥m0＞0时，我们研究如下问题：当M（‖▽u‖2）≥0时，我们研究如下问题：第三章，研究如下带记忆边界条件的Kirchhoff方程全局吸引子的存在性：第四章，研究边界带非线性耗散和记忆的Kirchhoff方程的全局吸引子的存在性。我们分别研究如下两个问题：和第五章研究如下带非线性边界条件的Schr（?）dinger方程：我们将证明全局吸引子的存在性和正则性。大家知道，全局吸引子的存在性和正则性是无穷维动力系统研究的重要内容，例如，见[37，38，39，88，92]。在[38，39]作者分别证明了周期边界条件非线性Schr（?）dinger方程和Kdv方程的渐近光滑性。而Zhang[99]采用同样的方法处理了浅水波方程。本章我们采用Goubet[38，39]的方法来证明全局吸引子的存在性和正则性。第六章研究无界区域R1上耗散Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程：我们采用一种新的方法来证明全局吸引子的存在性，这种方法来源于调和分析。我们知道，当这个方程定义在有界区域上时，则存在有限维的全局吸引子[19，93，94]。然而当方程定义在无界区域上时，证明全局吸引子的存在性就有很大的困难，原因在于这时Sobolev嵌入不是紧的。目前，有三种方法解决这个问题：第一种方法是用能量方程证明弱渐近紧性等价于强渐近紧性；第二种方法是作算子分解，将解算子分解成紧和渐近小的两部分；第三种方法是利用截断函数或加权函数证明解对大空间和时间变量一致小。根据第三种方法，Stanislavova[86，87]提出了一种新的充分必要条件来验证定义在无界区域上发展方程的渐近光滑性，这种充分必要条件包含了Littlewood-Paley投影算子。本章我们将利用这个充分必要条件来证明全局吸引子在H1（R1）中存在，而且全局吸引子包含于H3/2-ε（ε＞0）。
二、算子半群对非椭圆微分算子的应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、算子半群对非椭圆微分算子的应用（论文提纲范文）
（2）几类分数阶偏微分方程的适定性和解的渐近性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 预备知识 |
| 2 多粒子系统中非局部扩散方程的衰减估计 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 假设及预备知识 |
| 2.3 非局部多粒子系统解的衰减估计 |
| 2.4 带各向异性核的非局部单粒子方程的衰减估计 |
| 2.5 小结和展望 |
| 3 带随机扩散的Log-Euler方程的大概率全局适定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 假设及预备知识 |
| 3.3 局部适定性 |
| 3.4 先验估计 |
| 3.5 全局解 |
| 3.6 小结和展望 |
| 4 带白噪声初值和混合边界条件的热方程的混沌与有序 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 渐近行为 |
| 4.3 平均热量的爆破和快速冷却 |
| 4.4 小结和展望 |
| 5 有界域上时间离散化随机反应扩散方程的L~p收敛性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 解的存在唯一性和关于时间的正则性 |
| 5.3 时间离散半隐式数值逼近解 |
| 5.4 逼近解的L~p(?)收敛性 |
| 5.5 小结和展望 |
| 6 总结和展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 进一步研究工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 1 攻读博士学位期间完成的论文 |
| 附录 2 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
（3）有限维非线性滤波的分类及实时无记忆滤波方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性滤波理论的历史研究和发展现状 |
| 1.1.1 滤波理论的研究背景 |
| 1.2 滤波理论的研究现状 |
| 1.2.1 贝叶斯估计理论 |
| 1.3 最优滤波理论和次优滤波算法 |
| 1.3.1 最优滤波理论 |
| 1.3.2 次优滤波算法 |
| 1.3.3 实时无记忆非线性滤波器 |
| 1.4 有限维非线性滤波器和估计代数方法 |
| 1.4.1 有限维滤波器的结构 |
| 1.4.2 估计代数方法 |
| 1.5 本文的研究内容、结果和展望 |
| 1.6 论文总体安排 |
| 第2章 有限维估计代数的结构和分类 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 最大秩下有限维估计代数的分类 |
| 2.3 非最大秩下有限维估计代数的分类 |
| 第3章 非最大秩下的有限维非线性滤波器 |
| 3.1 问题描述 |
| 3.2 一类新的有限维滤波器的估计代数结构 |
| 3.3 多项式滤波系统 |
| 3.4 Wei-Norman方法构造有限维非线性滤波器 |
| 3.4.1 有限维非线性滤波器的一般构造 |
| 3.4.2 针对一类新的多项式系统的有限维滤波器的构造 |
| 第4章 实时无记忆性滤波方法 |
| 4.1 问题描述 |
| 4.1.1 已有结果 |
| 4.1.2 非线性滤波问题的线上-线下算法 |
| 4.2 Legendre-Galerkin谱方法在非线性滤波问题中的应用 |
| 4.2.1 Legendre-Galerkin谱方法 |
| 4.2.2 Legendre-Galerkin谱方法的收敛性分析 |
| 4.3 基于Legendre-Galerkin谱方法的非线性滤波算法 |
| 4.3.1 算法设计 |
| 4.3.2 数值仿真实验 |
| 第5章 总论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（4）一类无穷维微分方程二分解的定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 算子半群与抽象柯西问题 |
| 1.1.2 无穷维动力系统 |
| 1.1.3 本文研究内容的提出 |
| 1.2 本文工作框架及创新 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 函数空间 |
| 2.2 闭算子与Bochner积分 |
| 2.3 无穷远处的谱分解 |
| 2.4 扇形算子与解析半群 |
| 2.5 柯西问题 |
| 第三章 扇形二分与中间空间 |
| 3.1 扇形二分 |
| 3.2 中间空间 |
| 3.2.1 分数幂空间Z_α |
| 3.2.2 插值空间D_S(θ, ∞) |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 二分解 |
| 4.1 线性非齐次情形 |
| 4.2 半线性情形 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 平衡点附近的不变流形 |
| 5.1 局部稳定与不稳定积分流形 |
| 5.2 全局稳定与不稳定流形 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 应用 |
| 6.1 无限圆柱域上的拟线性椭圆型偏微分方程 |
| 6.1.1 f关于变量x局部γ-H?lder连续 |
| 6.1.2 f关于变量x全局γ-H?lder连续 |
| 6.2 非稠定的双曲双扇形算子 |
| 6.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 攻读学位期间参与的项目 |
（5）Laplace算子和DtN算子谱渐近问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 本文的内容 |
| 1.2 Laplace算子谱理论 |
| 1.2.1 Laplace算子的实现(realization) |
| 1.2.2 Laplace算子谱基本性质 |
| 1.2.3 Laplace算子谱的一些基本算例 |
| 1.3 DtN算子谱理论 |
| 1.3.1 Steklov问题和DtN算子的定义 |
| 1.3.2 一些DtN算子的谱算例 |
| 第2章 Laplace算子和DtN算子的谱渐近 |
| 2.1 谱渐近的历史 |
| 2.2 格点问题简介 |
| 2.3 谱渐近与格点问题的联系 |
| 2.3.1 二维环面和高维方形区域的Laplace算子 |
| 2.3.2 二维单位圆上的Laplace算子 |
| 2.3.3 方形区域上的Steklov问题的谱 |
| 2.4 二维单位圆盘上Laplace算子谱渐近的余项改进 |
| 2.4.1 震荡积分的一些结果 |
| 2.4.2 指数和估计 |
| 2.4.3 非零行列式 |
| 2.4.4 相关格点问题估计 |
| 第3章 谱优化 |
| 3.1 谱优化历史 |
| 3.2 渐近谱优化 |
| 3.3 相关格点优化问题 |
| 3.3.1 格点优化问题简介 |
| 3.3.2 格点数的两项上下界 |
| 3.3.3 格点数渐近 |
| 3.3.4 定理3.9和3.10的证明 |
| 3.3.5 D ∩R_+~d的体积公式 |
| 第4章 Laplace算子和DtN算子热不变量 |
| 4.1 Laplace算子热不变量 |
| 4.2 DtN相关热不变量 |
| 4.3 带势函数的DtN算子的热不变量 |
| 4.3.1 带势函数的DtN算子及其热不变量的定义 |
| 4.3.2 算子∧_v的象征 |
| 4.3.3 算子∧_v-λ的逆 |
| 4.3.4 前几个热不变量的计算 |
| 4.3.5 热不变量的一般形式 |
| 4.3.6 在逆谱问题上的应用 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（6）正则预解算子族的逼近和扰动（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文要解决的问题 |
| 第二章 C-正则预解算子族的逼近定理 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 指数有界情形的逼近 |
| 2.3 非指数有界情形的逼近 |
| 第三章 (a,k)-正则C-预解算子族的乘积扰动 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 乘积扰动定理 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
（7）常微分算子理论的发展（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题目的和意义 |
| 1.2 本课题研究现状 |
| 1.3 研究方法及创新点 |
| 1.4 研究内容 |
| 第2章 常微分算子理论的起源(1836-1910) |
| 2.1 边值问题 |
| 2.2 Sturm的简介及其主要工作 |
| 2.2.1 Sturm的简介 |
| 2.2.2 Sturm的工作 |
| 2.3 Liouville的简介及其主要工作 |
| 2.3.1 Liouville的简介 |
| 2.3.2 Liouville的工作 |
| 2.4 Sturm和Liouville合作的工作及其意义 |
| 2.4.1 Sturm和Liouville合作的工作 |
| 2.4.2 Sturm和Liouville工作的意义 |
| 2.5 Sturm-Liouville理论的后续发展 |
| 第3章 常微分算子理论早期的重要工作(1910-1950) |
| 3.1 Weyl的简介及其重要成果 |
| 3.1.1 Weyl的简介 |
| 3.1.2 Weyl的重要成果 |
| 3.2 Dixon的工作 |
| 3.3 Stone的工作 |
| 3.4 Titchmarsh的工作 |
| 3.4.1 正则型问题 |
| 3.4.2 奇异型问题 |
| 3.5 The Titchmarsh-Weyl的贡献 |
| 3.5.1 正则情形 |
| 3.5.2 奇异情形 |
| 第4章 常微分算子自伴扩张理论的发展 |
| 4.1 微分算式的描述 |
| 4.2 常型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.2.1 Coddington自伴域(1954) |
| 4.2.2 Naimark自伴域(1954) |
| 4.2.3 Everitt自伴域(常型) |
| 4.3 奇型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.3.1 Weyl-Titchmarsh自伴域 |
| 4.3.2 Everitt自伴域 |
| 4.3.3 曹之江-自伴域和孙炯-自伴域 |
| 4.3.4 自伴域描述的新进展 |
| 4.4 其它类型微分算子自伴域的描述 |
| 4.4.1 直和空间上的自伴域 |
| 4.4.2 J-对称微分算子的J-自伴域 |
| 4.4.3 向量值函数空间的自伴域 |
| 4.5 微分算子乘积的自伴域 |
| 4.6 常微分算子自伴域的几何刻画 |
| 4.7 Friedrichs扩张 |
| 第5章 常微分算子谱分析的发展 |
| 5.1 谱的基本概念 |
| 5.2 定性分析的数学思想和研究方法 |
| 5.2.1 定性分析的数学思想 |
| 5.2.2 定性分析的研究方法 |
| 5.3 常微分算子离散谱的判别准则 |
| 5.3.1 实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.2 加权的奇异实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.3 J-自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.4 常微分算子本质谱的判别 |
| 5.5 常微分算子的定量分析 |
| 5.5.1 常微分算子的数值解法 |
| 5.5.2 SLEIGN2及其它软件包的的介绍 |
| 5.5.3 常微分算子数值算法进展的概述 |
| 第6章 常微分算子亏指数理论的发展 |
| 6.1 亏指数的基本概念和理论 |
| 6.2 奇异实对称微分算子亏指数判定的成果 |
| 6.2.1 二阶情形的判定工作 |
| 6.2.2 高阶情形的判定工作 |
| 6.3 复系数对称微分算子亏指数的判别成果 |
| 6.4 亏指数的取值范围 |
| 6.5 算子幂的亏指数 |
| 第7章 常微分算子逆问题的发展 |
| 7.1 早期的工作(1929-1979) |
| 7.2 近三十年来的研究工作(1980-2010) |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录1:常微分算子理论发展的年表 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表或待发表的学术论文 |
（8）加权复合算子的超循环性及线性分式映射的半群嵌入问题（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 背景知识和介绍 |
| 2.1 全纯映射及迭代序列 |
| 2.2 矩阵论的一些基本概念 |
| 2.3 循环与超循环 |
| 2.4 线性分式映射及一些相关的定义 |
| 2.5 连续半群 |
| 第三章 B_N上的线性分式自映射 |
| 3.1 椭圆型线性分式自映射 |
| 3.2 非椭圆型线性分式自映射情形 |
| 第四章 H(B_N)上的加权复合算子 |
| 第五章 Hilbert空间上加权复合算子的伴随 |
| 第六章 嵌入问题 |
| 6.1 椭圆型线性分式映射的嵌入问题 |
| 6.2 抛物型线性分式自映射的嵌入问题 |
| 6.3 双曲型线性分式自映射的嵌入问题 |
| 6.4 几个推论 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
（9）一类拟微分算子解的估计及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一节 绪论 |
| 第二节 预备知识 |
| 2.1 基本记号 |
| 2.2 需要的引理 |
| 第三节 主要结果 |
| 3.1 基本解估计 |
| 3.2 解算子的L~p—L~q估计 |
| 第四节 对算子iΨ(D)+V(x)的应用 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（10）非线性波动方程的全局吸引子（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| §1.1 无穷维动力系统的基本理论 |
| §1.2 主要结论 |
| 第二章 带非线性边界条件的Kirchhoff方程的全局吸引子 |
| 2.1 系统(2.I)的全局吸引子 |
| 2.2 系统(2.II)的全局吸引子 |
| 第三章 带记忆边界条件的Kirchhoff方程的全局吸引子 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 定理3.1.5的证明 |
| 3.1.3 定理3.1.6的证明 |
| 第四章 带非线性耗散和记忆边界条件的Kirchhoff方程的全局吸引子 |
| 4.1 系统(4.I)的全局吸引子 |
| 4.2 系统(4.II)的全局吸引子 |
| 第五章 带非线性边界条件的Schr(o|¨)dinger方程的全局吸引子 |
| 5.1.1 引言 |
| 5.1.2 解的存在唯一性和吸收集 |
| 5.1.3 算子半群分解和高频部分先验估计 |
| 5.1.4 全局吸引子的存在性及其正则性 |
| 第六章 R~1上Benjamin-Bona-Mahony方程的全局吸引子 |
| 6.1.1 引言 |
| 6.1.2 准备工作 |
| 6.1.3 全局吸引子的存在性 |
| 全文主要结论和创新点 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的工作目录 |
| 致谢 |
四、算子半群对非椭圆微分算子的应用（论文参考文献）
- [1]非局部和反常扩散模型的数值方法[J]. 张继伟. 数值计算与计算机应用, 2021(03)
- [2]几类分数阶偏微分方程的适定性和解的渐近性[D]. 杨晓雷. 华中科技大学, 2020(01)
- [3]有限维非线性滤波的分类及实时无记忆滤波方法的研究[D]. 董文慧. 清华大学, 2020(01)
- [4]一类无穷维微分方程二分解的定性研究[D]. 邓联望. 上海交通大学, 2019(06)
- [5]Laplace算子和DtN算子谱渐近问题研究[D]. 王为为. 中国科学技术大学, 2018(01)
- [6]正则预解算子族的逼近和扰动[D]. 郑诗洋. 上海师范大学, 2011(11)
- [7]常微分算子理论的发展[D]. 许美珍. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [8]加权复合算子的超循环性及线性分式映射的半群嵌入问题[D]. 陈仁毓. 天津大学, 2012(08)
- [9]一类拟微分算子解的估计及应用[D]. 邓清泉. 华中师范大学, 2009(11)
- [10]非线性波动方程的全局吸引子[D]. 朱朝生. 四川大学, 2007(05)